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Qu’est-ce que le paradoxe des anniversaires ?

Crédits : Pxhere

Lorsque l’on intègre un groupe, que ce soit à la rentrée pour les plus jeunes d’entre nous, ou bien au travail pour les moins jeunes, il est courant d’apprendre au fur et à mesure du temps la date d’anniversaire des personnes avec qui nous sommes. Et là, surprise ! Deux personnes du groupe ont la même date d’anniversaire. Les chances paraissent pourtant assez infimes.

En réalité, les probabilités pour que deux personnes d’un même groupe aient la même date d’anniversaire ne sont pas si faibles que cela – surtout à la convention annuelle des jumeaux. Ainsi, le paradoxe des anniversaires est bien logique, mais il est assez contre-intuitif.

À l’origine du paradoxe des anniversaires

Le scientifique à l’origine de ce calcul se nomme Richard Von Mises. Celui-ci est né en 1883 au sein de l’Empire austro-hongrois (partagé entre l’actuelle Autriche et la Hongrie). Il aura vécu plusieurs décennies en Allemagne, avant de partir, menacé par les nazis (car d’origine juive).

Cependant, cela ne l’aura pas empêché d’étudier de nombreux domaines. En effet, il était à la fois ingénieur en mécanique des fluides, en aérodynamique et aéronautique, mais aussi statisticien et probabiliste. Il aura laissé de nombreux travaux, dont celui qui nous intéresse aujourd’hui : le paradoxe des anniversaires !

Alors, combien de personnes faut-il pour le paradoxe des anniversaires ?

Voici le problème tel qu’il est présenté la plupart du temps : combien doit-on réunir de personnes pour avoir plus d’une chance sur deux d’en avoir deux ayant la même date d’anniversaire (sans tenir compte des années bissextiles)  ?

Voici maintenant une image si vous souhaitez y réfléchir. Pas d’inquiétude, la réponse est en dessous.

formules mathématiques
Image de circonstance. Crédits : Pixabay

Richard Von Miles a estimé le nombre de personnes nécessaires pour avoir plus d’une chance sur deux d’en avoir deux ayant la même date d’anniversaire à : 23 !

C’est peu, non ? Surtout sur une année qui compte 365 jours.

Il existe plusieurs raisonnements pour arriver à ce résultat. Mais voici une démonstration possible :

Pour avoir 100 % de chances, la réponse est 365 personnes. Plutôt logique non ? Par contre, il y a plus de 99 % de chances d’avoir deux personnes avec la même date d’anniversaire dans un groupe de 50 personnes, comment ?

Ce qu’il faut garder en tête, c’est que s’il y a 50 personnes, il y a en réalité 1225 paires différentes possibles. Tout de suite, cela paraît tout de suite moins impossible n’est-ce pas ?

Source : Sheldon Ross, A first Course in Probability, Editions Pearson Education Inc, 2010.

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Qu’est-ce que le paradoxe des anniversaires ?
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